問題No.15563 【論理/パズル】確率の有名問題３

出題者：kikki◆[055c8c6]

あんまり問題１・問題２の正解者も少ないですが…１・２だけでは中途半端な感じなので３問目(これで終わりの予定)。 ちなみに問１は「食玩問題」、問２は「誕生日攻撃」、問３は「このサイトの過去問」が元になっています。

問題：
箱の中に１〜１００までの数字が書かれたボールが１つずつ入っているとする。この中から１つボールを取り出し、書かれている数字を記録してボールを箱の中に戻す。この試行を１００回繰り返す。
このとき異なる数字のボールがいくつ出現したかを数える。その期待値を求めて下さい。小数第二位を四捨五入して、小数第一位まで半角数字で答えて下さい。小数点はピリオド「.」を半角で使って下さい。

数学の問題というよりは、こういう至極単純なことを日常的な感覚で推測出来るものかどうか？推測した値と計算された値はどれくらい一致しているのか？というところを大事にしてほしいなぁと思います。(問題１・問題２も同様に)

エクセルを使って(乱数発生により)推定してみよう、という人のためのヒント。＝RANDBETWEEN(1,100)　で１〜100までの整数をランダムに発生させることが出来ます(F9ボタンで再計算)。また、＝SUMPRODUCT(1/COUNTIF(A1:A100,A1:A100)) でセルA1〜セルA100 にあるデータの種類を数えることが出来ます。これらの機能を上手く使ってみて下さい。

ただし小数第一位までの値をきちんと求めようとすると5万回ぐらいやって平均取らないと信用のある数値にはなりません(標準偏差が3.1程度なので)。これを計算しようとするとマクロを使わないとちょっとキツいです、がまぁエクセル上で数回計算しても大体の目安にはなると思います。
ちなみに論理的に解くことも可能ですので、出来る人は頑張ってみて下さい。(出題者は乱数発生で10万回試行＋論理計算の両方でやってます。)

ついでに5万回ぐらいやらないと…の根拠ですが、母集団の標準偏差をσとすれば、その中のｎ個の標本平均の標準偏差は、σ/√ｎ　で与えられるというそんな定理がなんかあります(尚且つｎを大きくすると正規分布に近づいでいく、中心極限定理)。つまりこの問題について、100回分のデータを集めたとすると、100回のデータの平均の標準偏差は 3.1/√100＝0.31 となります。従って真の期待値から 0.5 ぐらいはズレている可能性があると覚悟しなければなりません。(とは言え10回ぐらい回答連打すれば十分ですが)。そして小数第一位まで信頼出来る値を求めるためには、標準偏差は 0.01 程度に抑えたい訳です。とすれば5万回程度のデータを集める必要がある、訳ですね。


※　問題中に使用されている人名、地域名、会社名、組織名、製品名、イベントなどは架空のものであり、実際に存在するものを示すものではありません。

確率の有名問題３への最新コメント

私は、ｎ回取り出したときの期待値を、ｎ＝０から順次１００まで求めるという簡単な方法（エクセルなら瞬時）でやってみましたが、あっているようです。

すみません。
下の「ボールの数を限りなく多くしていくと、ある値に近づく」というのはこの問題に関しては間違いでした。
発散してしまいますね。
ボール１つあたりの期待値がある値に近づくという意味でした。

これは複雑な計算をするまでもなく瞬殺でした。
パッと頭の中にある式が思い浮かびましたので・・・
ちなみにボールの数を限りなく多くしていくと、ある値に近づくんですよね。

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確率の有名問題３の情報

問題作成日：2011-05-15
解答公開日：2011-11-15最終更新日：2011-09-14 20:01:18(更新回数：12)
更新内容：
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2011/09/14 (Wed) 20:01


正解率：4%　（正解回数：8　解答回数：181）

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