問題No.12043 【論理/パズル】トランプカードのシャッフル問題

出題者：kikki◆[dc477d9]

５２枚のトランプカードを用意します。まず上から７枚カードを取り上げ、その７枚のカードの順番は変えないまま一番下に持ってきます。つまり上から１〜５２と並んでいたカードを、８〜５２→１〜７とこんな感じにシャッフルする訳です。

ではこの操作を何回繰り返せばカードは元の順番に戻るでしょう？この答えが５２回になるのは良いでしょうか？とりあえず良いことにして…というのは前置きでここからが本題です。

先程と同じように５２枚のカードを用意し、同じように上から７枚カードを取り上げます。今度は取り上げたカードの１番上のカードと、２番目のカードを入れ替え、そしてそのまま７枚毎１番下に持ってきます。つまり１〜５２、と並んでいたカードを、８〜５２→２→１→３〜７、とこんな感じに。

では今度はこの操作を何回繰り返せば全てのカードが元の順番に戻るでしょうか？答えを半角数字で記入して下さい。
勿論実際にカードを用意して出来ないことはないですが、十分に死ねる回数なので止めておきましょう。そうではなく「論理的に」解いてみて下さい。この問題も全く難しい計算は要りません、最小公倍数・最大公約数を知っていて、発想をひねれば解ける…と思います。


※　問題中に使用されている人名、地域名、会社名、組織名、製品名、イベントなどは架空のものであり、実際に存在するものを示すものではありません。

トランプカードのシャッフル問題への最新コメント

若さん＞
コメント有難うございます！その通り、線形代数でやっていた置換群をもとに問題を作ってます。
でも中学生までの数学知識とひらめきがあれば解けるようにしてる、つもりですが。

んーただ当方数学科の人間ではないので、きちっとした代数的な説明は自分は難しいですね…。何か変なところがあれば遠慮なくコメントしてくれれば幸いです。

問題としては、有限体と置換群が混ざったモデルのようですね。
解説にあるように数値を求めてしまいましたが、ちょっと不安でしたのでプログラムを組んで検算しました。

代数的にすっきりする解説を作りたいような気がします。
(他のあの問題については、解説をリファインするためのキーワードを探してします)

ヒント追加していきます。
問題中では１番目と２番目のカードを入れ替えていましたが、別のパターンにすればこんな数値。↓

１番目と３番目のカードを入れ替えると…３３０回の操作で全てのカードが元の順番に戻ります。
１番目と４番目だと…３１５回、１番目と５番目だと８８回、１番目と６番目だと…６６７回、１番目と７番目だと２６６回…で最初の状態と全く同じになります。

…とか言うと逆に解り難くなりそう…？全部バラバラの数字に見えますが、これらの数字には共通するところがあるのです。勿論、共通する要素のキーワードは「公倍数」ですよ。

うーん、正解数がぴたっと止まってるのでもうちょいヒントを〜、ここまで言ったら答え透けるかもですが…。

ずーっと同じ操作を繰り返している訳なので、例えば１番上のカードが３０回目で初めて元の位置に戻ってきたとします。そうすれば、このカードはさらにその３０回後…６０回後…も元の位置に戻ってきますよね。

とすれば全てのカードが元の位置に戻るのであれば、その答えは３０の公倍数でなければならない。だってそうでなければ１番上カードは違う位置に居るのですから…。

同じように考えれば、この問題の答えは「１番目のカードが戻る回数」、「２番目のカードが戻る回数」、「３番目のカードが戻る回数」…「５２番目のカードが戻る回数」の５２個の数字の公倍数、でなければならない…ですよね。

とか書いてると、すーごい膨大な計算が必要に見えますが、そんなことはないのです。B５サイズの紙が１枚あれば、その中で十分に計算出来る量です。

ここでヒントを〜、一見カオスなようですが、カードはとても規則的に動きますよ。その「法則」が解れば簡単なのですが…。

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トランプカードのシャッフル問題の情報

問題作成日：2010-04-28
解答公開日：2010-05-28最終更新日：2010-05-25 06:53:05(更新回数：14)
更新内容：


正解率：5%　（正解回数：23　解答回数：403）

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